求 $y=\arctan x$ 的高阶导数
设 $f(x)=\arctan x$, 求 $f^{(n)}(x)$. (参见[1] 例4.2.10)
解: 记 $y=\arctan x$, 则 $x=\tan y$, 从而
\[
y'=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2 y=\cos y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})
\]
两边对 $x$ 求导, 得
\[
\begin{split}
y''&=y'\cdot\big[-\sin y\cdot\sin(y+\frac{\pi}{2})+\cos y\cdot\cos(y+\frac{\pi}{2})\big]\\
&=\cos^2 y\cdot\cos(2y+\pi)\\
&=\cos^2 y\cdot\sin 2(y+\frac{\pi}{2})
\end{split}
\]
继续对 $x$ 求导, 用归纳法可以发现,
\[
f^{(n)}(x)=y^{(n)}=(n-1)!\cos^n y\cdot\sin n(y+\frac{\pi}{2}).
\]
请完成证明.
References:
[1] 梅加强, 《数学分析》 高等教育出版社